.. _calculation_formula:

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**計算式　一覧**
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EMSolutionにおいて，電磁界解析で使用している計算式の一覧を示します。それぞれの計算式は :doc:`/handbook/handbook` で参照しているものです。

.. [EQ1]
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**B_INTEG算出式**
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B_INTEGによる磁化及び電流による空間磁束密度は次式を用いて算出しています。

三次元の場合：

.. math:: 
    :name: B_INTEG 3D equation
    
    \pmb{B} (r_p) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\Omega} \frac{J (R) \times r}{r^3} dv - \frac{1}{4\pi} \int_{\Omega} \left( \frac{M}{r^3} - \frac{3(\pmb{M} \cdot \pmb{r}) \pmb{r}}{r^5} \right) dv
..

二次元の場合：

.. math:: 
    :name: B_INTEG 2D equation
    
    \pmb{B} (r_p) = \frac{\mu_0}{2\pi} \int_{\Omega} \frac{J (R) \times r}{r^2} dv - \frac{1}{2\pi} \int_{\Omega} \left( \frac{M}{r^2} - \frac{2(\pmb{M} \cdot \pmb{r}) \pmb{r}}{r^4} \right) dv
..

.. [EQ2]
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**発熱量算出式**
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導体の発熱量（ジュール発熱）は次式より算出できます。

.. math::
    :name: Joule loss

    W_{e} = \int_{cond} \frac{\pmb{J}_e^2}{\sigma} dv = \int_{cond} \pmb{E} \cdot \pmb{J}_e dv
..

時間平均を取ると，時間平均発熱量になります。

.. [EQ3]
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**鎖交磁束算出式**
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鎖交磁束は磁気ベクトルポテンシャルの線積分から算出できます。

.. math:: 
    :name: Magnetic flux equation

    \psi = \int_{C} \pmb{A} dl
.. 

.. [EQ4]
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**節点力計算式**
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.. math:: 
    :name: Nodal force method

    f = - \int_{} \pmb{T}_{ik} \frac{\partial \omega_n}{\partial x_k} d \Omega
..

.. math:: 
    :name: Maxwell Stress Tensor

    \pmb{T}_{ik} = \pmb{H}_i \pmb{B}_k - \delta_{ik} \int_{0}^{H} \pmb{B} d\pmb{H}

..

.. [EQ5]
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**磁気エネルギー算出式**
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磁気エネルギーは次式より算出している。

.. math::
    :name: Magnetic energy

    \text{co_energy} = \int_{v} \left( \int_{} \pmb{B}d \pmb{H} \right) dv

    \text{energy} = \int_{v} \left( \int_{} \pmb{H}d \pmb{B} \right) dv

    \frac{BH}{2} = \int_{v} \left( \frac{\pmb{B} \pmb{H}}{2} \right) dv

..

.. [EQ6]
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**鉄損算出式**
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積層鉄心の鉄損算出法として，2種類の方法を用意している。鉄損算出で設定する入力パラメータは，「磁束密度の最大値による算出法」で使用されるものである。

**磁束密度の最大値による算出法（スタインメッツの式）**

単一周波数 :math:`f`，振幅 :math:`B_{max}` （磁束密度の最大値）の交番磁界が印加された場合，鉄損は以下のスタインメッツの式から計算される。

式中の :math:`f`，積層面内の渦電流損 :math:`w_{e\perp}` とヒステリシス損 :math:`w_h` の :math:`f` ， :math:`B_{max}` のべき乗である :math:`\alpha, \beta, \gamma` を入力する。簡易的に， :math:`\alpha = \beta = \gamma = 2.0` が使用されている。

.. math::
    :name: Steinmetz equation

    W_i=W_{e||}+(w_{e⊥}+w_h)ΔV_i = W_{e||} + (K_e f^{\alpha} B_{max}^{\beta} + K_h f B_{max}^{\gamma} )ΔV_i
..

積層面内の渦電流損 :math:`W_{e||}` はFEA結果より次式で直接算出することができる。

.. math:: 
    :name: eddy current loss in the parallel direction

    W_{e||} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \int_{iron} \frac{|J_e|^2}{\Sigma_{||}} dvdt

    \Sigma_{||} = \alpha \sigma, \Sigma_{\perp} = 0

**磁束密度波形による算出法**

磁束密度波形による算出法は，千葉工業大学山崎先生により提案された手法で，磁束密度波形のゆがみやマイナーループも（近似的に）考慮可能な方法である。
以下の式より算出される。ここで，z方向は積層方向としている。

.. math:: 
    :name: Yamazaki method

    W_{e\perp}=\frac{K_e D}{2π^2} \int_{iron} \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N \left\{ \left( \frac{B_x^{k+1} - B_x^k}{Δt} \right)^2 + \left( \frac{B_y^{k+1} - B_y^k}{Δt} \right)^2 \right\} dv

    W_h=\frac{K_h D}{T} \sum_{i=1}^{N_E} \frac{ΔV^i}{2} \left\{ \sum_{j=1}^{N_{px}^i} (B_{mx}^{ij})^2 + \sum_{j=1}^{N_{py}^i} (B_{my}^{ij})^2 + \sum_{j=1}^{N_{pz}^i} (B_{mz}^{ij})^2 \right\}
..

＜交流定常解析(AC(2)=2)の時＞
単位時間，単位体積当たりのコアロス( :math:`W/m^3` )は複素透磁率の虚部 :math:`\mu^{''}` を用いて次式で計算される。

.. math:: 
    :name: AC core loss

    W = \frac{\omega}{2\pi} \int_{} \pmb{H}d\pmb{B} = \frac{1}{2} \omega \mu^{''} \pmb{H}_0^2
..

ここで， :math:`\omega` は角周波数， :math:`\pmb{H}_n` は交流磁界の振幅（ :math:`\pmb{H} = \pmb{H}_0 e^{j\omega t}` ）を表す。


.. [EQ7]
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**非線形表面インピーダンス**
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一般的な非線形表面インピーダンスは次式で定義される。

.. math:: 
    :name: Nonlinear surface impedance

    Z_s = \sqrt{\frac{j\omega \mu}{\sigma}} \left( 1 + j \frac{\sigma}{\omega \mu} \right)

EMSolutionではIMP_TYPEに合わせて以下の式を使用する。

- 1:非線形，磁界が正弦的

.. math:: 
    :name: Nonlinear surface impedance 1

    Z_m = \frac{16}{3\pi}\frac{1}{\sigma \delta_{nl}} \left( 1 + 0.5 j \right)

    \delta_{nl} = \sqrt{\frac{2 H_s}{\sigma \omega f B(H_s)}}

- 2:非線形，電界が正弦的

.. math:: 
    :name: Nonlinear surface impedance 2

    Z_e = \frac{27 \pi^3}{2 \sqrt{5}}\frac{1}{\sigma \delta_{nl}} \left( 1 + \frac{4}{3 \pi} j \right)


- 3:0と1の混合型 (:math:`Z_{nl} = Z_m`)
- 4:0と2の混合型 (:math:`Z_{nl} = Z_e`)

.. math:: 
    :name: Nonlinear surface impedance 3, 4

    Z = f(H_s)Z_l + (1-f(H_s))Z_{nl}

    f(H_s) = \frac{1}{1 + \left( k \frac{H_s}{H_{k}} \right)}

    Z_l = \frac{1 + j}{\sigma \delta_{l}}

    \delta_l = \sqrt{\frac{2}{\sigma \omega \mu}}